osa reaalarvud moodustavad enimkasutatav numbrikomplekt matemaatikas ja igapäevaelus. Nende hulka kuuluvad ratsionaalsed ja irratsionaalsed arvud ja ulatuvad numbritest, mida kasutame loendamiseks, mõõtmiseks või maksmiseks, kuni nendeni, mis esinevad keerukamates mõistetes nagu matemaatiline arvutus või füüsika. Iga arv, mida saab esitada pidev arvtelg, olenemata sellest, kas see on täis-, murd- või lõpmatu kümnendmurruga, on osa reaalarvudest.
See rühm tekkis ajalooliselt vajadusest kirjelda täpselt Suurused, mida ei saanud tol ajal teadaolevate arvudega väljendada. Ebamäärased väljendid nagu "väga väike" või "peaaegu null" osutusid matemaatilise analüüsi rangeks arendamiseks ebapiisavaks, mis viis piiri- ja reaalarvu mõistete formaliseerimiseni. Paljud ajaloolased paigutavad mõiste täpsustamise ja formaliseerimise protsessid ... vahele. 15. ja 17. sajandilkuigi tänapäevane ja range definitsioon kinnistati hiljem.
Kuigi iidsed tsivilisatsioonid, näiteks Egiptuse oma, kasutasid juba fraktsioonidKreeklased uurisid "arvu" mõistet filosoofilisemas võtmes. Pythagorase koolkond väitis, et "kõik on arv" ja teatud pikkusi (näiteks ruudu diagonaali) väljendades avastasid nad, et Kõiki suurusi ei saa kirjutada täisarvude murruna.Sellest tulenevad irratsionaalarvud, mis hiljem reaalarvude hulga täiendavad.
Mis on reaalarvud ja kuidas neid esitatakse?
Reaalarvud on defineeritud kui kõik arvud, mis vastavad punktile reaalarvude sirgelSee joon ulatub piiramatult vasakule (negatiivsed väärtused) ja paremale (positiivsed väärtused), hõlmates nulli, murrud, lõplikke kümnendmurde ning lõpmatuid korduvaid ja lõpmatuid mittekorduvaid kümnendmurde.
Seda komplekti tähistatakse tavaliselt tähega R või sümbol ℝFormaalselt saab reaalarvude hulka kirjeldada kahe peamise alamhulga ühendusena: ratsionaalarvud (Q) ja irratsionaalarvud (I). See tähendab, ℝ = Q∪I.
Reaalarvude näited on: 5, 0, -9, 3/4, -7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, epaljude teiste hulgas. Neid kõiki saab reaalarvuteljel paikneda täpselt määratletud punkti abil.
Lisaks on reaalarvud a kompleksarvude alamhulkKompleksarvud esitatakse kujul a + bi, kus a ja b on reaalarvud ning ei on imaginaarühik (ruutjuur −1-st). Kui b = 0, siis kompleksarv a + 0i langeb kokku reaalarvuga, seega iga reaalarvu võib vaadelda kui kompleksarvu, mille imaginaarosa on null.
Reaalarvude klassifitseerimine nende tüübi järgi
Reaalarvude klassifikatsioon on tavaliselt organiseeritud mitmeks pesastatud alamhulgaks. Kõige levinumad on looduslikud arvud, täisarvud, ratsionaalne e irratsionaalneSuures mastaabis leiame ℝ piires kaks suurt rühma: ratsionaalne e irratsionaalneJa ratsionaalarvude sees on naturaalarvud, täisarvud ja murdarvud.
1. Ratsionaalarvud
Seda kutsutakse ratsionaalsed arvud kõigile neile, keda saab esindada kui kahe täisarvu jagatisSee tähendab, et murruna p/q, kus p ja q on täisarvud ja q ≠ 0. Seda hulka tähistatakse tähega QRatsionaalarvude hulka kuuluvad positiivsed arvud, negatiivsed arvud ja nullSeetõttu hõlmavad need väga erinevaid suurusi.
Ratsionaalarvu saab kirjutada murruna, aga see võib esineda ka kujul täpne kümnend (näiteks 3,5), puhas korduv kümnend (0,7777…) või segatud korduv kümnend (2,58333…). Kõik need juhtumid lubavad alati esitust täisarvude murruna.
Ratsionaalarvud hõlmavad mõlemat täisarvud kui murdosaSeega on iga täisarv (−3, 0, 5…) samuti ratsionaalne, kuna seda saab kirjutada kujul p/1. See tähendab, et ℤ on Q alamhulk.
Ratsionaalarvud võimaldavad meil tehteid sooritada ilma hulgast lahkumata liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine (välja arvatud nulliga jagamine). Seega öeldakse, et Q on suletud nende operatsioonide jaoks.
a) täisarvud
osa numeros enteros on hulk, mis moodustub looduslikud arvudselle negatiivsed vastandid ja nullNeid esindab täht Z ja sisaldavad selliseid väärtusi nagu …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Arvteljel esinevad positiivsed täisarvud nullist paremal, null hõivab keskne punkt ja negatiivsed täisarvud paigutatakse vasakuleSee paigutus võimaldab nende suurust hõlpsalt võrrelda: mida paremale, mida suurem on arv.
- Neid kutsutakse looduslikud arvud mille jaoks me kasutame loenduselemente või näitavad järjekorda (1, 2, 3, …). Need on positiivsed täisarvud ja neid tähistatakse tavaliselt tähega N.
- El null tähistab a nullväärtusNull ei lisa väärtust, kui see seisab eraldi, kuid selle asukoht arvus muudab selle väärtust täielikult. Null numbrist paremal korrutab selle väärtuse kümnega (2-st saab 20), vasakul aga numbrist vasakul see ei muuda (02 võrdub 2-ga).
- osa negatiivsed täisarvud Need esindavad looduslikele vastupidiseid olukordi, näiteks võlad, miinustemperatuurid o võrdlustasemest madalamad tasemedNende nimetamiseks pannakse numbri ette sõna "miinus": "miinus neli" kirjutatakse −4.
Täisarvud on kinnised liitmine, lahutamine ja korrutamineKahe täisarvu vaheline tehe annab alati tulemuseks teise täisarvu. Kahe täisarvu jagamine võib aga anda tulemuseks arvu, mis ei ole täisarv (näiteks 3/4), seega pole need jagamisoperatsioonid suletud.
b) murdosa
Ratsionaalarvude hulka kuuluvad ka murdarvud, mis sai alguse lahendada jaotusprobleeme kui naturaalarvude jagamine ei andnud täisarvulist tulemust.
Murdarv on avaldis, mis näitab ühe suuruse jagamine teisegaSee koosneb a-st lugeja (jagatav summa) ja a nimetaja (mitmeks osaks see on jagatud), eraldatud horisontaalse või diagonaalse triibuga.
Kuigi iga täisarvu saab vaadelda murruna, mille nimetaja on 1, tehakse selles jaotises erilist vahet järgmiste vahel: õiged ja liigmurrud:
- The pärismurrud Need on need, mille lugeja on vähem kui nimetaja. Need esindavad suurusi väiksem kui üksnäiteks 3/5.
- The ebaõiged murded lugejat omama suurem või võrdne kui nimetaja, mis näitab kogust suurem või võrdne ühega, näiteks 7/4 või 5/5.
Lisaks saab paljusid ratsionaalarve kirjutada ka kujul täpsed või korduvad kümnendmurrudSeega arv nagu 0,25 on võrdne 1/4-ga (täpne kümnendmurruga), samas kui 0,333… on võrdne 1/3-ga (puhas perioodiline kümnendmurruga).
2. Irratsionaalsed arvud
osa irratsionaalsed arvud Nad on seda Neid ei saa väljendada kahe täisarvu murdosanaSelle kümnendkujutus on alati lõpmatu ja mitteperioodiline: kümnendmurrud jätkuvad kordumata kindlas mustris.
Klassikalised näited on arv π (ümbermõõdu pikkuse ja läbimõõdu vaheline seos), number e (naturallogaritmide baasil), siis kuldne suhe φ või algarvude juured, mis ei ole täiuslikud ruudud, näiteks √2, √3, √5, √7 jne.
Ajalooliselt tekkisid irratsionaalarvud siis, kui Pythagorase jünger püüdis väljendada ruudu, mille külje pikkus on 1, diagonaali murruna ja avastas, et Polnud olemas kahte täisarvu p ja q, mille puhul p/q = √2Vaatamata Pythagorase koolkonna esialgsele vastuseisule näitas see leid, et ratsionaalarvude hulk ei ole piisav kõigi geomeetriliste suuruste kirjeldamiseks.
Irratsionaalseid olendeid võib vaadelda kui ratsionaalarvude täiend reaalarvude seesSee tähendab, et kui nimetame Q ratsionaalarvude hulgaks ja ℝ reaalarvude hulgaks, siis irratsionaalarvude hulga saab kirjeldada järgmiselt ℝ − Q: kõik reaalarvud, mis ei ole ratsionaalsed.
Lisaks eristatakse kahte olulist irratsionaalarvude tüüpi: algebraline y transtsendentne.
- osa algebralised arvud on need, mis on lahenduseks mingi algebraline võrrand täisarvuliste kordajatega. Näiteks √2 on irratsionaalne ja algebraline, kuna see on x² − 2 = 0 lahend.
- osa transtsendentsed arvud Neid ei saa leida täisarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahenditena. Neid ei saa väljendada lõpliku arvu juurtega ja selle kümnendmurrud ei järgi mingit äratuntavat mustritNende hulka kuuluvad π ja e.
Reaalarvude põhiomadused
Reaalarvude hulk võimaldab meil teostada tehteid liitmine ja korrutamine täites rea omadusi, mis hõlbustavad arvutamist ja matemaatilist arutluskäiku. Kõige olulisemate hulgas on lukkon kommutatiivsuson assotsiatiivsuson neutraalsete elementide olemasolu ja pöördvõrdeliste olemasolu.
Lukusta
Omandus lukk näitab, et kahe reaalarvu summa või korrutis on alati teineteisest erinev reaalarvKui a ja b kuuluvad hulka ℝ, siis kuuluvad ka a + bya·b hulka ℝ. See võimaldab meil opereerida hulgast lahkumata, mis on oluline algebra ja analüüsi arenguks.
Kommutatiivne omadus
La kommutatiivne omadus See väidab, et kahe reaalarvu liitmise või korrutamise tulemus See ei sõltu järjekorrast kus tehte sooritatakse. See tähendab, et a + b = b + aya·b = b·a kõigi reaalarvude a ja b korral. See omadus lihtsustab oluliselt arvutusi ja avaldiste kirjutamist.
Ühistuline omand
La assotsiatiivne vara näitab, et liitmisel või korrutamisel kolm või enam reaalarvuNende rühmitamise viis tulemust ei mõjuta. Sümbolites: (a + b) + c = a + (b + c) ja (a·b)·c = a·(b·c). Tänu sellele saab pikki tehteid ümber korraldada, et neid oleks lihtsam lahendada.
Neutraalne element
Tegelikes arvudes on neid kaks neutraalsed elemendid põhiline:
- El null on neutraalne lisandsest selle liitmine suvalisele reaalarvule ei muuda selle väärtust: a + 0 = a.
- El uno on multiplikatiivne identiteet, kuna selle korrutamine suvalise reaalarvuga annab sama arvu: a·1 = a.
Additiivne ja multiplikatiivne pöördväärtus
Iga reaalarvu kohta leidub aditiivne pöördväärtus ja peale nulli a multiplikatiivne pöördväärtus:
- El aditiivne pöördväärtus Arvu a aditiivne samasus on −a, sest nende liitmisel saadakse aditiivne samasus: a + (−a) = 0.
- El multiplikatiivne pöördväärtus o vastastikune Arvu a ≠ 0 korral on tegu 1/a-ga, kuna a·(1/a) = 1.
Reaalarvud arvteljel ja igapäevaelus
Iga reaalarvu saab esitada a-ga punkt arvteljelIga punkt sellel sirgel vastab unikaalsele reaalarvule. See üks-ühele vastavus võimaldab meil visualiseerida selliseid tehteid nagu liitmine (nihutamine paremale või vasakule), lahutamine, võrratused ja vahemaad.
Reaalarvude real on numbrite järjekord määratakse selle asukoha järgi: mida kaugemal paremal punkt asub, Mida suurem on arv seotud; mida kaugemal vasakul, Mida väiksem see on"Viimast" positiivset või negatiivset reaalarvu pole olemas, kuna hulk ℝ sisaldab lõpmatu arv elemente mõlemas suunas.
Igapäevaelus kasutatakse reaalarve pidevalt: mõõta pikkusi (meetrites, sentimeetrites), ekspresstemperatuurid (positiivsed ja negatiivsed kraadid), arvutage aegu, raha haldamine (saldod, võlad, intressid) võrdle sõiduplaane o andmeid analüüsida statistikas ja majandusteaduses.
Teaduse ja tehnoloogia valdkonnas on reaalarvud aluseks diferentsiaal- ja integraalarvutuson klassikaline ja moodne füüsikaon masinaehituson arvutid ja paljudes teistes distsipliinides. Suurused nagu kiirus, kiirendus, energia või intensiivsus väljendatakse reaalarvudega ja nende õige käsitlemine võimaldab modelleerida keerulisi nähtusi.
Reaalarvude klassifikatsiooni, nende alamhulkade ja omaduste mõistmine mitte ainult ei hõlbusta matemaatika õppimist, vaid ka See tugevdab loogilist ja abstraktset mõtlemist.See aitab struktureerida mõtlemist ja parandab probleemide lahendamise võimet väga erinevates kontekstides.